Июнь 18th, 2013
Теорема 2.1. Группа обладает единственным единичным элементом, и каждый элемент группы имеет единственный обратный элемент.Доказательство. В группе только один единичный элемент, ибо если имеются два единичных элемента 1 и V, то (1) (Г) — 1 = Аналогично обратный элемент единствен, потому что если бы некоторому элементу группы g соответствовали два обратных элемента g~l и gf.TO выполнялась бы цепочка равенствg~l = lg~* = = g~lgg~l = g~ll = g-1, так что эти элементы должны были бысовпадать. Ч. т. д.Заметим, что обратный элемент произведения равен произведению обратных элементов сомножителей, взятых в обратном порядке, так как (ab) (fe-or-1) = a(bb~l)a~l = a\a~l = aa~l = 1 и поэтому fc-or1 = (ab)-1.Примеры. Совокупность всех действительных чисел является группой относительно операции обычного сложения. Совокупность всех положительных и отрицательных целых чисел с нулем такжеявляется группой относительно сложения. Совокупность всех действительных чисел без нуля является группой относительно обычного умножения. Все эти группы абелевы. Совокупность всех невырожденных квадратных матриц порядка п представляет собой относительно матричного умножения неабелеву группу.Многие важные группы могут быть описаны как совокупности преобразований некоторого пространства. Групповая операция, называемая умножением, определяется при этом следующим образом: преобразование аЬ есть результат последовательного выполнения сначала преобразования Ъ, а затем преобразования а. Например, совокупность вращений n-мерного евклидова пространства является группой.
