Июнь 18th, 2013
2.2. КольцаКольцом R называется множество элементов, на котором определены две операции. Одна из них называется сложением и обозначается как a -f- b, а другая называется умножением и обозначается как ab, даже если эти операции не являются обычными операциями сложения и умножения чисел. Для того чтобы R было кольцом, должны выполняться следующие аксиомы:Аксиома R.I. Множество R является абелевой группой относительно операции сложения, г, е. аддитивной абелевой группой.Аксиома R.2 (замкнутость). Для любых двух элементов а и b из множества R определено произведение ab, которое является элементом R-Аксиома R.3 (ассоциативный закон). Для любых трех элементов а b и с из множества R a(bc) — (ab)c.Аксиома R-4 (дистрибутивный закон). Для любых трех элементов а b и с из множества R справедливы равенства а(Ь + с) — = ас и (Ь + с) а = Ьа + са.Кольцо называется коммутативным, если коммутативна операция умножения, т. е. если для любых двух элементов а и b выполняется равенство ab = Ьа.Теорема 2.2. В любом кольце для любых элементов а и о справедливы соотношения аО — Оа = О и а(—Ь) = (—а)Ь = — (ab).Доказательство. В любом кольце по аксиоме R.4 для любого элемента а выполняется равенство а (0 + 0) = «0 + аО. Но поскольку 0 + 0 = 0, то аО = аО + аО. Далее, у элемента «0 должен быть элемент, обратный относительно операции сложения. Прибавляя этот обратный элемент к обеим частям последнего соотношения, получим 0 = аО + (—аО) = аО + «0 + (—сО) = оО + 0 — аО, так что в любом кольце «0 = 0. Аналогично доказывается соотношение 0Й = 0. Далее, 0 = аО = а(Ь + (—b))= ab + а(—Ь), так что а(—Ь) = — (ab). Аналогично (—a)b = — (ab). Ч.
