Июнь 18th, 2013
т. д.Примеры. Все действительные числа образуют кольцо относительно обычных операций сложения и умножения. Все положительные и отрицательные целые числа и нуль также образуют кольцо относительно обычных операций сложения и умножения. Оба эти кольца коммутативны. Совокупность всех квадратных матриц порядка п с целыми или действительными элементами является кольцом относительно операций матричного сложения и матричного умножения, причем это кольцо некоммутативно. Совокупность всех многочленов с целыми коэффициентами и одним неизвестным (или переменным) является коммутативным кольцом.Множество, состоящее только из одного нулевого элемента, является кольцом, операции в котором определяются правилами 0 + 0 = 0, (0) (0) = 0. Существуют два различных кольца с двумя элементами. Один из элементов кольца должен быть единичным относительно сложения, т. е. нулем. Другой элемент должен удов-тТВ°РЯТЬ соотношению а + а = 0. Так как по теореме .2.2 (U) (0) = Оа = аО = 0, то остается только выяснить, чему равна величина аа. Оказывается, что при обоих возможных определениях аа — а и аа — 0 удовлетворяются и дистрибутивный и ассоциативный законы, и, таким образом, выбор любого из этих опреде-нии задает кольцо, причем очевидно, что эти два способа сюра определяют два кольца различной структуры.2.3. ПоляПолем называется коммутативное кольцо с единичным элементом относительно умножения (единичный мультипликативный элемент кольца), в котором каждый ненулевой элемент имеет мультипликативный обратный элемент (т. е.
