Июнь 18th, 2013
Первая строка состоит из элементов подгруппы, причем она начинается с единичного элемента, и каждый элемент подгруппы появляется в строке только один раз. Первым элементом второй строки может быть любой : лемент группы, не входящий в первую строку, а все осталь-ые элементы получаются умножением слева всех элементовподгруппы на первый элемент строки. Аналогично образуются третья, четвертая, пятая и т. д. строки, каждая с неиспользованным прежде элементом группы в начале строки, до тех пор, пока каждый элемент группы не войдет в таблицу:Совокупность элементов в строке этой таблицы называется левым смежным классом, а элемент, стоящий в первом столбце строки, называется образующим смежного класса. Правые смежные классы могут быть построены аналогичным образом. Сама таблица задает разложение группы на смежные классы.Теорема 2.3. Два элемента g и g группы G входят в один и тот же левый смежный класс по подгруппе Н в G тогда и только тогда, когда произведение g~xg принадлежит Н.Доказательство. Если g и g принадлежат смежному классу, образующим которого является элемент gi, то g = gihj для некоторого , g = gthh для некоторого k и g-g = (gihj)-lgihh = ~h~lg~*gjhk = hTxhki т. е. произведение g~}g принадлежит подгруппе. С одной стороны, если g = g{h, где gi— образующий смежного класса, и g~ig = п< т0 g — gh — gihhi так что g входит в тот же самый смежный класс, поскольку hh принадлежит подгруппе. Ч. т. д.Теорема 2.4. Каждый элемент группы G принадлежит одному и только одному смежному классу по подгруппе Н.
