Июнь 18th, 2013
Доказательство. По построению таблицы каждый элемент группы входит в нее по крайней мере один раз. Нужно показать, что каждый элемент содержится в таблице только один раз. Предположим сначала, что два элемента в некоторой строке gihj и gihk равны. Тогда, умножая каждый из них слева на gf1, получим, что hj = hh. Но этого быть не может, так как предполагалось, что каждый элемент подгруппы содержится в первой строке только один раз. Теперь допустим, что два одинаковых элемента находятся в различных строках, т. е. что gihj = ghhh и пусть i > k. Умножая это равенство справа на ft»1, получим ? = ?-ЛДТ. Так как произведение ft,ftГ1 принадлежит подгруппе, то это означает, что элемент gi входит в k-й смежный класс, — ситуация, которая противоречит правилу построения таблицы, согласно котопому образующие смежных классов не должны использоваться в предшествующих строках. Ч. т. д.Число элементов группы называется порядком группы. Число различных смежных классов в разложении группы G по подгруппе Я называется индексом Я в G. Очевидно, что(порядок Я) (индекс Я в G) = порядок G.Подгруппа Я группы G называется нормальной1), если для любого элемента h из Я и любого элемента g из G произведение g~1hg принадлежит Я. Вообще говоря, левые смежные классы могут не быть правыми смежными классами, и наоборот. Однако любой левый смежный класс по нормальной подгруппе является также правым смежным классом, и наоборот. В абелевой группе, очевидно, каждый левый смежный класс является правым смежным классом, так же как всякая подгруппа, очевидно, нормальная.
