Июнь 18th, 2013
В качестве более важного примера рассмотрим аддитивную группу G, состоящую из положительных и отрицательных целых чисел и нуля, и подгруппу Н, состоящую из чисел, кратных целому п. Все числа от нуля по п—1 принадлежат различным смежным классам, потому что для того, чтобы два элемента а и b принадлежали одному и тому же смежному классу, необходимо, чтобы элемент (—а) + b принадлежал подгруппе и, таким образом, был кратен п. Эти числа могут быть выбраны образующими смежных классов, и легко видеть, что смежных классов с другими образующими не существует. Поскольку группа G абелева, то может быть определена операция сложения смежных классов, и смежные классы образуют группу. Например, пусть п = 3. Тогда смежные классы оказываются строками таблицы:Если их обозначить соответственно как {0}, {1} и {2}, то таблица сложения имеет видВ этой таблице можно узнать таблицу сложения чисел по модулю 3.2.5. Векторные пространства и линейные алгебрыМножество V называется векторным пространством над полем F, если для него выполняются следующие аксиомы:Аксиома V. 1. Множество V является абелевой аддитивной группой.Аксиома V. 2. Для любого вектора х и любого элемента поля с определено произведение сх, являющееся вектором (элементы поля называются скалярами, а элементы V — векторами).Аксиома V. 3 (дистрибутивный закон). Если и и v — векторы из множества V, а с— скаляр, то с(u + v) = си -f- сх.Аксиома V.4 (дистрибутивный закон). Если v — вектор, а с и d — скаляры, то (с + d) х = сх -f- dx.Аксиома V. 5. (ассоциативный закон). Если х-вектор, а с и d — скаляры, то (cd)x = c(dx) и lv = v.
