Июнь 18th, 2013
Кроме того, любое произведение w на скаляр, aw = аЬ\ -}-... -f- abhvn, принадлежит S. Поскольку множество S замкнуто относительно операций сложения и умножения на скаляр, то оно является подпространством векторного пространства V. Ч. т. д.Совокупность векторов vb v2, …, vk называется линейно зависимой тогда и только тогда, когда существуют скаляры с,, с2, Сь не все равные нулю, такие, чтоСовокупность векторов называется линейно независимой, если она не является линейно зависимой. Говорят, что некоторая совокупность порождает векторное пространство, если каждый вектор векторного пространства может быть представлен в виде линейной комбинации векторов этой совокупности.Теорема 2.6. Если совокупность k векторов \\, vfe порождает векторное пространство, которое содержит некоторую совокупность из m линейно независимых векторов иь um, то k т.Доказательство. Поскольку векторы vb …, \h порождают пространство, вектор U] может быть представлен как линейная комбинация векторов Vi. Такое соотношение можно разрешить относительно какого-нибудь одного из v,-, скажем v3-, выразив его через ui и остальные v,. Если для исключения v3- использовать его выражение через U] и другие v, то любая линейная комбинация элементов Vi будет представлена как линейная комбинация U! и всех векторов vit кроме V,, и, следовательно, совокупность, содержащая Ui и все векторы v,-, кроме vh порождает векторное пространство. Поэтому и2 можно представить как линейную комбинацию и, и всех Vi, за исключением v3-. Так как векторы линейно независимы, то по крайней мере один из векторов Vi должен войти в линейную комбинацию с нулевым коэффициентом, и поэтому этот элемент может быть представлен как линейная комбинация ub и2 и остав шихся k — 2 векторов \t.
