Июнь 18th, 2013
Следовательно, эти k векторов порождают пространство. Этот процесс может быть продолжен до тех пор, пока не будут использованы все m векторов щ, и так как на каждом шагу замещается один из векторов v,-, то число векторов Должно быть по крайней мере не меньще числа векторов щ.Теорема 2.7. Если два множества линейно независимых векторов порождают одно и то же пространство, то в каждом из множеств содержится одно и то же число векторов.Доказательство. Если в одном множестве m векторов, а в другом k векторов, то по теореме 2.6 m k и k nt, так что m — k. Ч. т. д.В любом пространстве число линейно независимых векторов, порождающих пространство, называется размерностью пространства. Совокупность k линейно независимых векторов, порождающих -мерное пространство, называется базисом пространства. Из теоремы 2.7 следует, что любая совокупность, содержащая более чем k векторов из -мерного векторного пространства, линейно зависима. Из теоремы 2.6 следует, что Не существует совокупности менее чем из k векторов, порождающей -мерное пространство.Теорема 2.8. Если V есть k-мерное векторное пространство, то любая совокупность из k линейно независимых векторов, принадлежащих V, является базисом V.Доказательство. Пусть vb v2, vft — совокупность линейно независимых векторов из V. Если они не порождают пространство V, то должен существовать некоторый элемент v из V, который нельзя представить в виде линейной комбинации векторов vi, v2, … …,vft. Поэтому совокупность k-{-\ векторов v, vb v2, vh из пространства V является линейно независимой. Это противоречит теореме 2.6, и поэтому векторы vu v2, .
