Июнь 18th, 2013
Пространством строк матрицы М размерности п)>т называется совокупность всех линейных комбинаций вектор-строк матрицы М. Оно образует подпространство векторного пространства наборов длины т. Размерность пространства строк называется рангом по строкам. Аналогично совокупность всех линейных комбинаций вектор-столбцов матрицы образует пространство столбцов матрицы, размерность которого называется рангом по столбцам.Для любых матриц существует следующая совокупность элементарных операций над строками:1. Перестановка любых двух строк.2. Умножение любой строки на ненулевой элемент поля.3. Прибавление произведения одной из строк матрицы на не-нулевой элемент поля к другой строке матрицы.Операция, обратная каждой из элементарных операций над строками, является, очевидно, элементарной операцией того же вида.Теорема 2.10. Если одна матрица получается из другой путем последовательного выполнения элементарных операций над строками, то пространства строк этих двух матриц совпадают.Доказательство. Если теорема верна для каждой элементарной операции над строками, то, очевидно, она верна и для последовательного применения таких операций. Для операций 1 и 2 утверждение теоремы очевидно. Предположим, что матрица М получена из матрицы М применением элементарной операции 3. Тогда, так какизмененная строка матрицы М является линейной комбинацией двух строк матрицы М, то любая линейная комбинация строкматрицы М также является линейной комбинацией строк матрицы М, так что пространство строк матрицы Ж содержится в пространстве строк матрицы М. Но матрица М может быть получена из М с помощью обратной операции, которая тоже является элементарной операцией типа 3, так что пространство строк матрицы М должно содержаться в пространстве строк матрицы М. Поэтому пространства совпадают. Ч.
