Июнь 18th, 2013
Наконец, третья элементарная операция, в результате которой -я строка, умноженная на с, прибавляется к k- строке, может быть осуществлена умножением слева на матрицу,которая содержит единицы на главной диагонали, с на месте пересечения -го столбца и строки и нули на остальных местах. Матрицы этих типов называются элементарными матрицами.Теорема 2.11. Каждая невырожденная матрица обладает левой обратной матрицей, которая может быть представлена в виде произведения элементарных матриц.Доказательство. Если невырожденную матрицу М размерности п Xп привести к ступенчатой канонической форме, то получится единичная матрица. Поскольку матрица М может быть приведена к ступенчатой канонической форме путем элементарных операций над строками, то существует некоторый набор элементарных матриц Еь Е2) Еь произведение которых на М дает единичную матрицу:EfeEft_i … EjM = I.Таким образом, матрица EftEft_i … Ei является левой обратной матрицей по отношению к матрице М. Ч. т. д.Можно показать, что левая обратная матрица совпадает с правой обратной матрицей.Теорема 2.12. Если М — матрица размерности пут, a S — невырожденная матрица размерности пХ.п, то произведение матриц S и М имеет то же самое пространство строк, что и матрица М.Доказательство. Строки произведения SM являются линейными комбинациями строк матрицы М, и поэтому пространство строк матрицы SM содержится в пространстве строк матрицы М. Но матрица S обладает левой обратной матрицей S-1, и строки матрицы S-ISM=V\ являются линейными комбинациями строк матрицы SM.
