Июнь 18th, 2013
2.14. Покажите, что целые числа по модулю 4 образуют коммутативное кольцо, но не поле. (Ср. табл. 2.2 и задачу 2.1.)3 Линейные кодыВ этой главе основное внимание сосредоточено на линейных кодах, образующих некоторый подкласс в классе всех кодов. Почти все известные блоковые и древовидные коды являются кодами этого типа, и поэтому (с одним исключением) только линейные коды рассматриваются в оставшейся части этой книги. Можно построить линейные коды, символы которых являются элементами произвольного множества (задачи 3.1 и 3.2). Однако почти все основные результаты в теории кодирования получены в предположении, что символы кода являются элементами конечного поля. Таким образом, в дальнейшем будет предполагаться, что число символов q является степенью простого числа. Разумеется, двоичные коды с символами 0 и 1 получаются при q = 2.3.1. Метрика Хэмминга и метрика ЛиСовокупность всех наборов элементов поля длины п образует векторное пространство. Некоторое множество векторов длины п называется линейным блоковым кодом тогда и только тогда, когда оно является подпространством векторного пространства всех наборов длины п. Аналогично линейный древовидный код (определение см. в разд. 3.3) — это множество полубесконечных последовательностей, которые образуют подпространство в линейном векторном пространстве всех таких наборов. В случае двоичного канала и, более того, в случае любого поля из р элементов, где р — простое число, любая группа векторов является также подпространством (задачи 2.9 и 6.8). Для двоичных линейных кодов общепринято название групповой код.
