Июнь 18th, 2013
Во всех случаях, кроме тех, когда и q и k малы, матричное описание кода более компактно, чем перечисление всех кодовых векторов. Двоичный групповой (50,30)-код описывается матрицей размерности 30X50, но имеет более чем 109 кодовых векторов.Пример. Код V\ из предыдущего примера является пространством строк любой из следующих матриц:Существует также другой способ описания кодов при помощи матриц. Снова, если V есть подпространство размерности k, то его нулевое пространство является векторным пространством V размерности п — k. Может быть построена матрица Н ранга п — k, строками которой является базис пространства V и пространство строк которой совпадает с V. Далее, V есть нулевое пространство для V, и вектор v принадлежит V тогда и только тогда, когда он ортогонален каждой строке матрицы Н, т. е. когдаЕсли v = (ui, «2, • • •, ctn) и элемент, входящий в i-ю строку и -й столбец матрицы Н, обозначен через кц, то соотношение (3.1) означает, что для каждого i (т. е. для каждой строки матрицы Н)Таким образом, соотношение (3.1) означает, что компоненты вектора v должны удовлетворять совокупности п — k независимых уравнений. Конечно, любая линейная комбинация уравнений (3.2) также дает некоторое уравнение, которому должны удовлетворять компоненты v, и это соответствует тому, что вектор v ортогонален каждому вектору из пространства V. Эти соотношения называются обобщенными проверками на четность, поскольку в случае двоичного кода они представляют собой проверку на четность определенных наборов символов в кодовом слове. Это значит, что для каждой строки матрицы Н число единиц вектора v, которым соответствуют единицы в строке матрицы Н, четно тогда и только тогда, когда v удовлетворяет уравнению (3.2). Матрица Н называется проверочной матрицей кода V.
