Июнь 18th, 2013
Соотношения (3.1) справедливы для любого вектора v из пространства V. В частности, они справедливы для k базисных векторов матрицы G. Эти k уравнений можно записать какгде 0 обозначает нулевую матрицу размерности Х(» — )¦Пример. Нулевое пространство У2 для векторного пространства V\ из предыдущего примера содержит четыре вектора: (О 0 0 0 0), (1 1 0 1 0), (1 0 1 0 1) и (0 1 1 1 1). Эти четыре вектора образуют векторное пространство. Первые два ненулевых вектора линейно независимы и образуют базис. Таким образом, V\ является пространством строк матрицыКод V\ представляет собой нулевое пространство этой матрицы. Каждый вектор из V2 задает уравнение, которому должны удовлетворять компоненты любого кодового вектора. Например, вектору (01111) соответствует уравнениекоторое должно удовлетворяться для любого кодового вектора(й1,а2, as, й4, а5). Для двоичных кодов это эквивалентно наличиючетного числа единиц среди последних четырех компонент кодо-вого вектора v или проверке на четность последних четырех ком-понент. Заметим, что в отличие от векторов над полем действи-тельных чисел ненулевой вектор над конечным полем может бытьортогонален сам себе. Например, вектор (01111) принадлежитодновременно Vi и V2. Легко проверить, что уравнению (3.3) удовлетворяют приведенная выше матрица Н и каждая из двух порождающих матриц, приведенных в предыдущем примере.Векторное пространство V и его нулевое пространство V являются подпространствами пространства наборов длины п, и поэтому оба являются линейными кодами. Они называются двойственными кодами. Если V есть (п, k) -код, то V — это (п, п — k) -код.
