Июнь 18th, 2013
2. К каждой -й строке ( ф i) прибавим i-ю строку, умноженную на (—ац). В результате в -м столбце i-я строка будет содержать единицу, а все остальные строки — нули.Заметим, что как только какой-нибудь столбец будет содержать единицу в одной из строк и нули в остальных строках, то ни первая, ни вторая операции над строками уже не смогут изменить этот столбец. Таким образом, после того как эти операции будут проделаны над каждой строкой матрицы, получится матрица G, содержащая k столбцов, каждый из которых содержит единицу и k — 1 нулей, причем единица появится обязательно в каждой строке.Итак, поскольку G может быть получена из G с помощью операций над строками, то они порождают один и тот же код. Далее перестановкой столбцов можно сгруппировать слева k столбцов, содержащих единицы в качестве первых ненулевых элементов каждой строки, так чтобы они образовали единичную матрицу размерности kXk, в результате чего получится комбинаторно-эквивалентная матрица G» видаТакая форма матрицы называется приведенно-ступенчатой. (В этих вопросах не выработано единообразной терминологии.) Таким образом, для каждой порождающей матрицы G существует комбинаторно-эквивалентная ей матрица G», имеющая приведенно-сту-пенчатую форму, и каждый код эквивалентен пространству строк некоторой матрицы, имеющей приведенно-ступенчатую форму.Пусть теперь v = (а\, а2,…, а)— произвольный набор длины k. Рассмотрим вектор и, являющийся линейной комбинацией строк матрицы G» с элементом а, в качестве 1-го коэффициента:Пусть теперь v = (а\, а2,…, а)— произвольный набор длины k. Рассмотрим вектор и, являющийся линейной комбинацией строк матрицы G» с элементом а, в качестве 1-го коэффициента:
