Июнь 18th, 2013
Доказательство. Достаточно доказать теорему для непосредственного потомка, поскольку рассматриваемое свойство передается по наследству. Пусть v — е = и, где е — вектор веса 1. Каждый элемент из {и}-смежного класса, который содержит и, имеет вид s + u = s + v — е, где s — кодовый вектор. Так как вектор s-f-v принадлежит смежному классу {v} и вес вектора е равен 1, то каждый вектор из {и} отличается от некоторого вектора из класса {v} только одной компонентой. Поэтому вес смежного класса {и} может отличаться не более чем на 1 от веса смежного класса {v}. Но так как вес вектора и на единицу меньше веса v, то вектор и должен быть элементом минимального веса в своем смежном классе. Ч. т. д.Теорема 3.10. Если и — вектор минимального веса в своем смежном классе, предшествующий всем другим векторам минимального веса в этом смежном классе, и если v — потомок и, то v — элемент минимального веса в своем смежном классе, предшествующий всем другим элементам минимального веса в этом смежном классе.Доказательство. Снова достаточно доказать теорему для непосредственных потомков. Предположим, что v — и = е, причем все компоненты вектора е, кроме й-й, равны нулю. Тогда каждый элемент из смежного класса {v} отличается от некоторого элемента из смежного класса {и} на вектор е. Следовательно, каждый элемент минимального веса из смежного класса {v} должен иметь нулевую k-ю компоненту, так как каждый элемент минимального веса из {v} содержит больше нулей, чем соответствующий элемент из {и}. Поэтому каждый элемент минимального веса из смежного класса {v} должен получаться как результат вычитания вектора е из некоторого элемента минимального веса смежного класса {и}.
