Июнь 18th, 2013
Поскольку эта матрица имеет k строк и чисто нулевой столбец может быть исключен из рассмотрения как бесполезный, существует всего qh—\ различных типов возможных столбцов. Если не обращать внимания на порядок расположения столбцов, то код можно задать указанием числа столбцов каждого типа. Этот способ задания и называется модулярным представлением кода.Пусть М — специальная матрица размерности k~X(qh—1), содержащая в качестве столбцов все возможные векторы из k элементов поля, исключая нулевой вектор. Тогда -й столбец матрицы М можно рассматривать как столбец типа , а код может быть задан вектором, образованным qh— 1 положительными целыми числами:размерности (qh— 1)Хп в качестве строк содержит все возмсж-ные ненулевые линейные комбинации строк матрицы G. Такимобразом, строками матрицы К являются все ненулевые кодовые векторы. Важным частным случаем является матрица, которая содержит весь код, задаваемый матрицей М, если ее рассматривать как порождающую матрицу кодаС = МГМ. (3.17)Очевидно, что эта матрица симметрична и содержит по одному столбцу каждого возможного типа.Теперь рассмотрим случай двоичного кода.Теорема 3.13 (Макдональд). Веса каждого из 2h— 1 ненулевых кодовых слов двоичного группового кода могут быть найдены как компоненты вектора, получающегося в результате матричного умножения (как матриц с действительными элементами) вектора N модулярного представления на матрицу С:W = NC, или Wr = CNr. (3.18)(Веса кодовых слов упорядочены так же, как кодовые слова в матрице в равенстве (3.16).
