то принцип Гамильтона [формула (IV. 1)] можно представить

то принцип Гамильтона [формула (IV. 1)] можно представить в видеУчитывая выражение (IV.2), запишемПодставляя выражение (IV.4) в формулу (IV.3) и полагая 8xt = 0 при t = tx и t = t2, найдемТак как число обобщенных координат xt равно числу степенейсвободы и так как 8xt не зависят от времени, то уравнения (IV.5)справедливы лишь в том случае, если выражения в скобках равныУравнения вида (IV.6) называются уравнениями Лагранжа. Необходимо подчеркнуть, что уравнения Лагранжа не зависят от выбора координат, т. е. они сохраняют свой вид или, другими словами, остаются инвариантными при переходе от одной системы координат к другой.Учитывая выражение (IV.2), уравнения (IV.6) можно переписать в следующем виде:Уравнение (IV.7) можно рассматривать как частный случай уравнений Лагранжа второго рода:где Qi — обобщенные силы.В случае использования уравнения (IV.7)Обобщенные силы, определяемые последним равенством и зависящие только от обобщенных координат хh, называются силами, имеющими потенциал.В качестве простого примера, поясняющего применение уравнений Лагранжа, рассмотрим, пренебрегая силой трения, элементарную механическую систему, состоящую из груза с массой т, подвешенного на пружинке с коэффициентом упругости k. Кинетическая энергия движущейся массыа потенциальная энергия пружиныПодставляя найденные выражения для Г и У в уравнение (IV.7), найдем следующее дифференциальное уравнение рассматриваемой системы:Система уравнений (IV.8) описывает поведение консервативной динамической системы, в которой рассеяние энергии отсутствует.