Июнь 18th, 2013
Аксиома G.1 {замкнутость). Операция может быть применена, любым двум элементам группы, в результате чего получается третий элемент группы.Аксиома G.2 (ассоциативный закон). Для любых трех элементов а, Ъ и с группы (a -f- b) -f- с = a -f- (b -f- с), если операция записана как сложение, или a (be) = (ab) с, если операция записана как умножение.Ассоциативный закон означает, что порядок выполнения операций несуществен и поэтому скобки не необходимы.Аксиома G.3. Существует единичный элемент.Если операция называется сложением, то единичный элемент называется нулем, обозначается как 0 и определяется из уравнения 0-г-а = а-{-0 = а, которое должно выполняться для любого элемента группы. Если операция называется умножением, то единичный элемент называется единицей, обозначается как 1 и определяется из уравнения \а = а\ = а.Аксиома G.4. Каждый элемент группы обладает обратным элементом.Если операция называется сложением, то обратный элемент, соответствующий элементу а, обозначается через —а и определяется как решение уравнения a -f- (—а) — (—a) -f- а — 0. Если операция называется умножением, то обратный элемент обозначается как с-1 и определяется уравнением аатх — агха = 1.Кроме перечисленных аксиом, элементы группы могут удовлетворять коммутативному закону, т. е. для них может выполняться равенство a -j- b = b -f- а или, если операция является умножением, равенство ab = Ъа. В этом случае группа называется абеле-вой или коммутативной.При изложении общей теории групп в этой книге используются обозначения, принятые для операции умножения.
