Июнь 18th, 2013
)Доказательство. Соотношение (3.18) легко доказать, если заметить, что i-я компонента вектора Wr получается в результате умножения i-й строки матрицы С на вектор N. Поскольку элементами матрицы С являются единицы и нули, то получается сумма некоторого подмножества компонент вектора N, тех компонент, которые соответствуют столбцам, содержащим единицу в i-м кодовом слове. Ч. т. д.Матрица С, рассматриваемая как матрица действительных чисел, является невырожденной. Матрицу, обратную к матрице С, можно получить, заменяя в матрице С каждый 0 на —1 и деля каждый элемент на 2ft_I. Для того чтобы доказать это, сначала покажем, что любые два различных столбца матрицы С содержат единицы в 2h~2 строках.Строки матрицы С с присоединенным к ним вектором из одних нулей образуют группу, поскольку они составляют пространство строк матрицы М. Рассмотрим совокупность строк, содержащих нули в i-м и -м столбцах. Легко проверить, что они образуют подгруппу. Далее, существуют четыре смежных класса, содержащих одно и то же число элементов, а именно: сама подгруппа; совокупность всех строк, содержащих 0 в i-м столбце и 1 в -м столбце; совокупность всех строк, содержащих 1 в i-м столбце и 0 в -м столбце, и, наконец, совокупность всех строк, содержащих единицы в обоих столбцах. Таким образом, одна четвертая часть всех строк, или всего 2h~2 строк, содержит единицы в i-м и j-u столбцах. Аналогичными рассуждениями можно доказать, что каждый столбец додержит 2h~l единиц. (См. задачу 3.5.)Матрица С является симметричной, поэтому, если умножить ее саму на себя, получится матрица, у которой все диагональные элементы равны 2h~1, а все недиагональные элементы равны 2h~2. Таким образом,Матрица С является симметричной, поэтому, если умножить ее саму на себя, получится матрица, у которой все диагональные элементы равны 2h~1, а все недиагональные элементы равны 2h~2. Таким образом,
