Июнь 18th, 2013
Единичный элемент векторного пространства будет обозначаться символом 0. Таким образом,0 = (0 0).Для совокупности наборов очевидно, а в случае произвольного векторного пространства легко проверить, что для любого вектора v произведение 0v = 0 и для любого скаляра с произведение сО = 0. Кроме того, (—v) = (—l)v, так как v + (—l)v=lv-f-(—l)v = = [1+(—l)Jv = 0v = 0.Подмножество векторного пространства называется подпространством, если оно удовлетворяет аксиомам векторного пространства. Для того чтобы проверить, является ли некоторое подмножество векторного пространства подпространством, необходимо проверить только замкнутость этого подмножества относительно операций сложения и умножения на скаляр. Заметим, что гак как —v = (—l)v, то замкнутость относительно умножения на скаляр показывает, в частности, что элемент, обратный каждому из элементов подмножества, принадлежит подмножеству. Поэтому замкнутости подмножества относительно операции сложения достаточно для того, чтобы подмножество было подгруппой; ассоциативный и дистрибутивный законы должны быть справедливы в подпространстве, если они справедливы в исходном векторном пространстве.Линейной комбинацией k векторов Vj, v2, v7) называется сумма видаЗдесь Oj — скаляры, т. е. элементы поля.Теорема 2.5. Совокупность всех линейных комбинаций некоторого набора векторов vb …, v из векторного пространства V является подпространством пространства V.Доказательство. Очевидно, что любая линейная комбинация векторов из V является вектором из V. Если совокупность всех линейных комбинаций векторов Vi, vft обозначить через S, а w = biVi + … + bfeVft и u = C1V1 + • ¦ • + cftVft — любые два элемента из S, то элемент w -f- и также принадлежит S, поскольку w4-u = (bi +Ci)vi+ … +(bft + Cft)vft.
