Июнь 18th, 2013
Если код является пространством строк некоторой матрицы, то двойственный к нему код — нулевое пространство этой матрицы и наоборот.Теорема 3.1. Пусть V — линейный код. который совпадает с нулевым пространством матрицы Н. Тогда каждому кодовому слову веса Хэмминга w соответствует соотношение линейной зависимости, связывающее w столбцов матрицы Н, и, наоборот, каждому соотношению линейной зависимости, включающему w столбцов матрицы Н, соответствует кодовое слово веса w.Доказательство. Вектор v = (ui, а%,…, ап) является кодовым словом тогда и только тогда, когда vHT — 0, или, если обозначить t-й вектор-столбец матрицы через hj, тогда и только тогда, когдаЭто соотношение линейной зависимости связывает столбцы матрицы Н, причем число столбцов матрицы, которые входят с ненулевыми коэффициентами, равно числу ненулевых компонент at вектора v. Это число в точности равно весу вектора v. Аналогично коэффициенты любого соотношения линейной зависимости, связывающего столбцы матрицы Н, являются компонентами вектора, который должен принадлежать нулевому пространству матрицы Н. Ч. т. дСледствие 3.1. Блоковый код, являющийся нулевым пространством матрицы Н, имеет минимальный вес (и, следовательно, минимальное расстояние), равный самое меньшее w, тогда и только тогда, когда любая совокупность w — 1 или меньшего числа столбцов Н является линейно независимой.Отметим различие между этим условием и определением ранга матрицы. Если ранг по столбцам матрицы больше или равен г, то должна существовать по крайней мере одна совокупность из г столбцов, которые линейно независимы.
