Июнь 18th, 2013
Множество А называется линейной ассоциативной алгеброй над полем F, если выполняются следующие аксиомы:Аксиома А. 1. Множество А является векторным пространством над F.Аксиома А. 2. Для любых двух элементов а их из А существует произведение их, определяемое как некоторый элемент из А.Аксиома А.3 (ассоциативный закон). Для любых трех элементов и, х и xv из А справедливо равенство (uv)w = u(vw).Аксиома А.4 (билинейный закон). Если с и d— скаляры из F, а u, v и w — векторы из А, то и (сх -f- dw) = сих -f- duw и (сх -f dw) u = cvu + dwu.Набором длины n элементов поля называется упорядоченное множество из п элементов поля, обозначаемое как (аи а2, аъ, … •••> оп), где каждый из at является элементом поля. Сложение наборов длины п определяется следующим образом:«2, — а„) + (6„ b2 fyj = (ai + fti. a2 + b2, an + bn).Умножение наборов длины п на элемент поля определяется правиломс(аи а2, о„) = (сЛ, са2, сап).Если определены эти две операции, то, как легко проверить, совокупность всех наборов длины п над полем образует векторное пространство. Такие векторные пространства занимают центральное место в теории кодирования. Они и являются основным предметом изучения остальной части данной главы.Умножение наборов длины п может быть определено следующим образом:(а,, а2, an)(bu Ь2 Ьп) = (афь а2Ь2, …. апЬп).Введение этой операции превращает совокупность наборов в линейную алгебру. Определенная таким образом операция умножения используется довольно редко. Другой способ умножения наборов, приводящий к линейной алгебре, описывается в гл. 6. Он играет более важную роль в теории кодирования.
