Июнь 18th, 2013
обратный по умножению).Некоммутативное кольцо, в котором у каждого ненулевого элемента есть обратный, называют кольцом с делением, или телом.Заметим, что ненулевые элементы поля удовлетворяют всем аксиомам группы и, следовательно, образуют мультипликативную группу (т. е. группу относительно умножения).Примеры. Совокупность всех действительных чисел является полем, так же как и совокупность всех рациональных чисел и со вокупность всех комплексных чиселНаименьшее число элементов, образующих поле, равно двум, потому что поле должно содержать два единичных элемента: 0 относительно операции сложения и 1 относительно операции умножения. Эти два элемента должны удовлетворять правилам сложения и умножения, приведенным в табл. 2.1, ибо существует только одна возможная таблица сложения для группы с двумя элементами. Кроме того, было показано, что вообще в кольце Оа — 0 для любого элемента а, и поскольку 1 является единичным элементом, то (1)(1)= 1. Легко проверить, что совокупность элементов 0 и 1 с операциями,определенными выше, удовлетворяет всем аксиомам поля.Таблица 2.1. Правила сложения и умножения в поле с двумя элементамиМожно показать, что для любого числа q, являющегося степенью простого числа, существует поле, содержащее q элементов. Доказательство этого факта близко связано с содержанием гл. 6, где оно и проводится. Однако здесь полезно отметить, что поле с р элементами, где р-—простое число, можно получить, рассмотрев совокупность целых чисел по модулю р. Совокупность целыхМожно показать, что для любого числа q, являющегося степенью простого числа, существует поле, содержащее q элементов. Доказательство этого факта близко связано с содержанием гл. 6, где оно и проводится. Однако здесь полезно отметить, что поле с р элементами, где р-—простое число, можно получить, рассмотрев совокупность целых чисел по модулю р. Совокупность целых
