Июнь 18th, 2013
Операция над смежными классами, очевидно, определена для всех пар смежных классов, и поэтому аксиома G.1 удовлетворяется. Чтобы проверить справедливость ассоциативного закона, заметим, чтоШ ({} Ш) = igi) {gaffs} = {ffigaga} = {?182} (ёз) = ({gi) Ш) Ш-Единичным элементом является сама подгруппа Н = {1}, поскольку {1} {g} = {lg} = {g} и {g}{l} = {gl} = {g}- Аналогично обратным к смежному классу {g} оказывается смежный класс, содержащий элемент g~\ так как {g} {g»1} = {gg~1} = {1} и {g-}{g} = — {g~g} — {!}• Кроме того, если первоначальная группа абелева, то, как нетрудно проверить, факторгруппа также является абелевой.Примеры. Предположим, что в качестве группы G рассматривается группа из восьми преобразований квадрата, а подгруппа Н состоит из элементов 1, а, Ь, с. Тогда стандартная таблица левых смежных классов при условии, что элемент d выбран образующим, имеет видla Ь сd da — g db — f dc = e Существует только один смежный класс, содержащий все элементы группы G, не вошедшие в Я, и поэтому он должен быть также правым смежным классом, а подгруппа Н должна быть нормальной. Если единичный смежный класс обозначить через , а второй смежный класс — через D, то таблица умножения имеет вид = , ID = {1} {d} = {d) — D, DI = D, DD = {d} {d} = {dd} = {1} = . Структура этой таблицы умножения, конечно, такая же, как у таблицы умножения для единственной группы из двух элементов.В качестве более важного примера рассмотрим аддитивную группу G, состоящую из положительных и отрицательных целых чисел и нуля, и подгруппу Н, состоящую из чисел, кратных целому п. Все числа от нуля по п—1 принадлежат различным смежным классам, потому что для того, чтобы два элемента а и b принадлежали одному и тому же смежному классу, необходимо, чтобы элемент (—а) + b принадлежал подгруппе и, таким образом, был кратен п. Эти числа могут быть выбраны образующими смежных классов, и легко видеть, что смежных классов с другими образующими не существует. Поскольку группа G абелева, то может быть определена операция сложения смежных классов, и смежные классы образуют группу. Например, пусть п = 3. Тогда смежные классы оказываются строками таблицы:
