Следовательно, пространство строк матрицы М содержится

Следовательно, пространство строк матрицы М содержится в пространстве строк матрицы SM. Поэтому эти пространства должны совпадать. Ч. т. д.Теорема 2.13. Совокупность всех наборов длины п, ортогональных подпространству V\ наборов длины п, образует подпространство У2 наборов длины п. Это подпространство V2 называется нулевым пространством для Vi.Доказательство. Пусть V\ — подпространство векторного пространства всех наборов длины п над некоторым полем, V2 — множество всех векторов, ортогональных каждому вектору из V\, v — любой вектор из Vu a Ui и и2 —любые векторы из V2. Тогда v-ui = v-u2 = 0 и v-u, + vU2 = 0 = v-(ui + u2). Поэтому вектор Ui + u2 принадлежит V2. Кроме того, v-(cUi) =c(v-Uj) =0, так что вектор cui принадлежит V2. Таким образом, множество V2 должно быть подпространством. Ч. т. д.Теорема 2.14. Если вектор ортогонален каждому из векторов, порождающих подпространство Vu то этот вектор принадлежит нулевому пространству для Vi.Доказательство. Если векторы vb vh порождают V\, то каждый вектор из V\ может быть представлен в виде v — C\V\ + • • • … +cfevft. ТогдаV-U==(C,V,+ … + Ck\k) ¦ U = CiVj • и + … +ckvk-u,и если вектор и ортогонален каждому из векторов v,, то он ортогонален и вектору v. Ч. т. д.Нулевое пространство для пространства строк матрицы называется нулевым пространством матрицы. Вектор принадлежит нулевому пространству матрицы, если он ортогонален каждой строке матрицы. Если последовательность v длины п рассматривать как матрицу размерности 1 X п, то v принадлежит нулевому пространству матрицы М размерности m X\п тогда и только тогда, когда vMr = 0.