Июнь 18th, 2013
Теорема 2.15. Если размерность подпространства наборов длины п равна k, то размерность нулевого пространства равна п — k.Доказательство этой теоремы будет опущено, поскольку оно требует некоторых новых сведений, не необходимых в дальнейшем. Одним из следствий этой теоремы является следующая теорема:Теорема 2.16. Если У2— подпространство наборов длины п и V\ — нулевое пространство для V2, то 12 — нулевое пространство для V\.Доказательство. Если размерность подпространства V2 равна ¦k, то размерность подпространства V\ равна п — k и размерность нулевого пространства для V] равна k. Поскольку V2 содержится в нулевом пространстве для V\ и имеет ту же самую размерность, то эти пространства совпадают. Ч. т. д.Если Mi и М2 — две матрицы, содержащие по п столбцов, и матрица Мг состоит только из нулей, то пространство строк матрицы М2 содержится в нулевом пространстве для матрицы V\j и наоборот. Если ранг по строкам матрицы М] и ранг по строкам матрицы М2 при сложении дают п, то пространство строк матрицы IV\2 является нулевым пространством для матрицы Mi и наоборот.Пусть U П V обозначает совокупность векторов, которые принадлежат одновременно и U и V. Легко доказать, что множество Uf]V является подпространством. Пусть U © V обозначает подпространство, состоящее из всех линейных комбинаций вида аи -(- bv, где ue[, veV, а а и b —¦ числа.Теорема 2.17. Сумма размерностей подпространств U f] V и U © V равна сумме размерностей подпространств U и V.Доказательство. Обозначим через k\ размерность U, через k2 — размерность V и через k0 — размерность U[)V.
