Июнь 18th, 2013
В данной книге используются только нормальные подгруппы, являющиеся абелевыми, поэтому мы не будем доказывать сформулированный выше результат в общем случае.Если подгруппа Я группы G нормальная, то можно ввести операцию над смежными классами, так что получится новая группа, элементами которой будут смежные классы. Эта группа называется факторгруппой и обозначается как GH. Смежный класс, содержащий элемент g, обозначим через {g}. Операция умножения смежных классов определяется правиломtelM#2} = {!g2}.Законность этого определения остается неустановленной до тех пор, пока не будет показано, что независимо от того, какие элементы выбраны в качестве представителей в каждом из перемножаемых смежных классов, результирующий смежный класс получится один и тот же. Другими словами, необходимо показать, что если g, и g[ принадлежат одному и тому же смежному классу и g2 и #2 входят в один и тот же смежный класс, то и произведения Јi#2 и ё[ёг2 также принадлежат одному и тому же смежному классу. Предположим, что g~lg[ = hv g-1 = h2. Поскольку подгруппа является нормальной, элемент g2-lhxg2 должен принадлежать подгруппе Я. Обозначим его через h3. Тогда (g.gj)- g[g2 = ~ S2 gff ggj — й2 \?2 = S2 lg2h3 = h2h3, так что это произведение принадлежит подгруппе Я. Таким образом, элементы gtg2 и g входят в один и тот же смежный класс, и определение умножения классов имеет смысл.перев,) Нормальную подгруппу часто называют нормальным делителем. — Прим.Проверим теперь, что факторгруппа ип действительно является группой.
