Июнь 18th, 2013
В подпространстве Uf]V существует базис, состоящий из k0 векторов. В подпространстве U можно найти базис, содержащий эти kq векторови k\ — *о векторов, не принадлежащих U(]V, а в подпространствеV можно найти базис, содержащий базис подпространства Uf]Vи еще k2— ко векторов. При этом k0 векторов базиса из U[)V,
k0 дополнительных векторов из базиса U и fe2 — о дополни-тельных векторов из базиса V в совокупности образуют базис в[7 01. Следовательно, размерность подпространства U ф V равнаk0+ (Л,-*о) + (ha-ko); Ч. т. д.Теорема 2.18. Пусть U2— нулевое пространство для U\, a V2— нулевое пространство для V\. Тогда U2f)V2 является нулевым пространством для U\ ф V\.Доказательство. Поскольку U{ принадлежит [, ф Vj, то любойвектор из нулевого пространства для Uf ф У] должен принадле-жать U2— нулевому пространству для U\. Аналогично любой век-тор из нулевого пространства для Ut ф V, должен принадлежатьу2 нулевому пространству для V\. Следовательно, нулевое про-странство для Ui ф Vi содержится в подпространстве U2f]V2. Лю-бой вектор из U\ ф V\ может быть записан в виде а\\\ + bvi. Еслиw — произвольный элемент из U2f]V2, то Ui-w = vrw = 0 и, сле-довательно, (ащ + bvi) -w = 0. Таким образом, U2f]V2 содержитсяв нулевом пространстве для U\ ф Vb Отсюда следует, что нулевоепространство для Uj ф Vt совпадает с U2 Л V2. Ч. т. д.Много важных понятий и теорем теории матриц здесь не были упомянуты. Следует подчеркнуть, что, хотя приведенного здесь материала достаточно для понимания дальнейшего, он заведомо не заменит книг или курсов лекций по современной алгебре, которые могут способствовать всестороннему пониманию предмета.
