Июнь 18th, 2013
Заметим, что вращения двумерного пространства образуют абелеву группу, тогда как вращения трехмерного пространства не коммутативны.В качестве первого примера конечной группы рассмотрим все линейные преобразования плоскости, которые переводят квадрат в себя. Преобразование полностью определено, если указан результат его воздействия на четыре вершины квадрата.Например, одним из возможных преобразований является поворот квадрата на 90° против часовой стрелки, так что А переходит в D, В — в А, С- в В, a D- в С. Это преобразование можно записать с помощью обозначений, обычно используемых для подИз этой таблицы легко увидеть, что у каждого элемента есть обратный элемент. Хотя ассоциативный закон также можно было бы проверить с помощью таблицы, это было бы очень утомительной работой; однако из определения группы ясно, что ассоциативный закон имеет место.Существует группа, состоящая только из одного элемента. Этот элемент должен быть единичным элементом в соответствии с аксиомой G.3; легко проверить, что при этом выполняются и другие аксиомы. Существует также группа, состоящая из двух элементов. Один из них должен быть единичным элементом 0. Обозначим второй элемент через а. Так как должен быть обратный элемент и G + 0 = G==0, —а Ф 0, то —а ~ а. Таким образом, правила сложения должны быть такими: 04-0 = 0, 0-\-а = = а 0 == а, а + с==0, и совокупность двух элементов, сложение которых определено этими правилами, удовлетворяет аксиомам G.l—G.4. Итак, единственная группа из двух элементов также является абелевой.
