Сентябрь 9th, 2013
Формула содержит остаточный член, исследование которого позволяет оценить величину ошибки, получающейся в том случае, когда ограничиваются первыми членами разложения. Формула Тейлора, например, для трех переменных х, у и z имеет видПоказатели степени, в которую возводятся выражения, стоящие в скобках, имеют символический смысл. Они указывают на необходимость выполнения при раскрытии скобок операций, ясных из следующего примера для второй степени:Частные производные вычисляются в точке с координатами г0, у0, г0 и поэтому являются постоянными.При линеаризации нелинейных уравнений обычно ограничиваются лишь членами первого порядка малости, пренебрегая остаточным членом R2l т. е. полагают, чтоДля исследования устойчивости процесса регулирования такого приближения в большинстве случаев вполне достаточно. Однако иногда линеаризованные уравнения используются для исследования качества процесса регулирования, и в этом случае приращения переменных могут быть не всегда малыми. Тогда для строгой оценки допускаемой погрешности проводится анализ остаточного члена R2, который удобнее всего брать в форме Лагранжа:Найдем выражение приращения AF (х, у, z) функции F (х, у, г), которое определим как разность между текущим значением этой функции F (ху у, г) и ее значением F (х0, yQ, z0) в некоторой фиксированной точке, заданной координатами х0, у0, z0. Учитывая выражение (IV.64) с точностью до R2 можно записатьПолученным выражением удобнее всего пользоваться при линеаризации нелинейных дифференциальных уравнений.
